2009-12-07

（その２）ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか？

昨日はnが無限大にいくなんて考えてしまった。
nは何人目までにすべての夫婦が男の子を産んだか、だ。
いろいろなnが意味するところを列挙すると、

n=1ならすべての夫婦が1人目で男の子を産んだ。
n=2ならすべての夫婦が2人目までに男の子を産んだ。
n=10ならすべての夫婦が10人目までに男の子を産んだ。

nが1や2で収まることは少ないだろう。
nが10だとほとんどの場合十分だろう。
nがどれだけ大きくなれるかは分からない。
けれど、すべての夫婦を含むことのできる正の整数nは存在するはずである。

昨日の問題をまとめる。

問題）ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか？

解法）まず昨日と同じく、

簡便のため産まれてくる子供は男女比1：1であるとする。
夫婦は何人目の子供でやめるかを選択する。
夫婦は男の子が産まれた時点で子供を作るのをやめる。
男の子をM、女の子をFと表す。
たとえば女の子3人男の子1人のきょうだいならFFFMと表す。

1人目で男の子が産まれた場合（M）　これが起こる確率は1/2
2人目で男の子が産まれた場合（FM）これが起こる確率は1/4
3人目で男の子が産まれた場合（FFM）これが起こる確率は1/8

　　　　　　　　　　　　　・・・

n人目で男の子が産まれた場合（FF...M）この場合の確率は1/(2^n)

男の子と女の子、それぞれが産まれる期待値を計算してみる。

男の子　1×1/2＋1×1/4＋1×1/8・・・＋1×1/(2^n)

女の子　　　　　1×1/4＋2×1/8・・・＋(n-1)×1/(2^n)

ここで、

男の子の期待値　―　女の子の期待値　＞　0

が成り立てば、性比は男の子に偏るといえる。

ここまでは昨日と同じ。
ここからが今日の答え。

男の子の期待値　―　女の子の期待値　＝　D　とおく。

D ={1×1/2＋1×1/4＋1×1/8・・・＋1×1/(2^n)}
　　　-{1×1/4＋2×1/8・・・＋(n-1)×1/(2^n)}
　=1×1/2+(1-1)×1/4+(1-2)×1/8+・・・+{1-(n-1)}×1/(2^n)
　=1×1/2+0×1/4-1×1/8+・・・+(2-n)×1/(2^n)

両辺に2^nを掛けて分母を払う

2^n×D = 1×2^(n-1)+0×2^(n-2)-1×2^(n-3)+・・・+(2-n)×2^0 (式A)

さらに両辺に2を掛けてみる

2^n×2×D = 1×2^(n)+0×2^(n-1)-1×2^(n-2)+・・・+(2-n)×2^1　(式B)

式AとBの差をとる、つまり式B - 式A

(左辺)= 2^n×2×D - 2^n×D
　　　　= 2^n×D
(右辺)= 1×2^(n)+0×2^(n-1)-1×2^(n-2)+・・・+(2-n)×2^1
　　　　　-{　　　　　　1×2^(n-1)+0×2^(n-2)+・・・+(3-n)×2^1+(2-n)×2^0}

　　　　=1×2^(n)-1×2^(n-1)-1×2^(n-2)-1×2^(n-3)+・・・-1×2^1-(2-n)×2^0

ということはかなり簡単になって、
　　　 = 2^n - 2^(n-1) - 2^(n-2) - 2^(n-3) - ・・・ - 2^1 - (2-n)

2の階乗のマイナス部分をまとめちゃって、
　　　 = 2^n - (2-n) - {2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)・・・+2^1}

ここでよくわからないのが{2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)+・・・+2^1}の部分。これをAとおく。
そして2Aを計算してみる。

2A = 2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+・・・+2^2

2A-A = 2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)+・・・+2^2
　　　　　-{ 2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)+・・・+2^2+2^1}
　　　　=2^n - 2

ということで、
A = 2^n - 2
ってこれ、等比数列の和の公式の導出そのままですが。

さてDに戻って、
2^n×D = 2^n - (2-n) - {2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)・・・+2^1}
　　　　 = 2^n - (2-n) - (2^n-2)
　　　　 = n
D = n/(2^n)

おお。Dがきれいに求まった。

さて、初めにnは正の整数と決めた。従ってD > 0　　(Q.E.D)

ということでまとめると、どんな正の整数nにたいしても以下が成り立つ。

D > 0　　
すなわち
男の子の期待値　−　女の子の期待値 > 0

だから、すべての夫婦が男の子を産むまで子作りした場合、性比は常に男の子に偏る。

2009-12-06

ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか？

ふとしたことからGoogleの面接試験の話題になり、紹介ページを眺めてみた。
http://gigazine.net/index.php?/news/comments/20070909_google_job_interview/

中でも、問題10番

ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか？

直感的に、男の子が増える。
なぜなら、夫婦は男の子が生まれるまで子を産む。
つまり、きょうだいの最後は必ず男の子になる。
ということはきょうだいの最後は男女比1：1じゃない。
そこに男女の不平等が現れるから、男の子が多い。

これは正しいのか、実際計算して確かめてみた。

まず簡便のため産まれてくる子供は男女比1：1であるとする。
夫婦は何人目の子供でやめるかを選択する。
夫婦は男の子が産まれた時点で子供を作るのをやめる。
男の子をM、女の子をFと表す。
たとえば女の子3人男の子1人のきょうだいならFFFMと表す。

1人目で男の子が産まれた場合（M）　これが起こる確率は1/2
2人目で男の子が産まれた場合（FM）これが起こる確率は1/4
3人目で男の子が産まれた場合（FFM）これが起こる確率は1/8
　　　　　　　　　　　　　・・・
n人目で男の子が産まれた場合（FF...M）
この場合の確率は1/(2^n)

男の子と女の子の期待値を計算してみる。
男の子　1×1/2＋1×1/4＋1×1/8・・・＋1×1/(2^n)
女の子　　　　　1×1/4＋2×1/8・・・＋(n-1)×1/(2^n)

男の子の期待値　―　女の子の期待値　＞　0

が成り立てば、性比は男の子に偏るといえる。
シグマとかを使うともう少し整理される。
けれどlim(n→∞)とかを計算する能力はもはや私にはない(昔もあったか怪しいけど)ので、Rを使ってnに十分に大きな値をいれるという方法をとってみる。
今現在使えるものを使って答えを導く。これが私のスタンス。
(だから新しい技術を修得できない、という部分は触れないでもらいたい)

で、書いてみたRコード

f<- function(x){

D<- numeric(x)

for(i in 1:x){　D[i]<- (2-i)/2^i　}　#期待値の差を整理した

Dt<-sum(D)
return(Dt)
}

このコードももうちょっとうまい書き方があるのではないか。
まあ、結果は得られるのだからこれ以上時間はかけなくていいじゃないか。という、妥協。

さて、関数fを定義したので、たとえばf(3)とか打ち込んでみる。
0.375と期待値の差が計算される。
これは3人目までにめでたく男の子が産まれた夫婦の子供たちを集めてきた場合の、男の子の期待値-女の子の期待値。
正の値だから男の子の方が多い。

じゃあ10人目までに男の子が産まれた夫婦の子供たちはというと、
f(10)＝0.009765625
やはり正の値。

これはどれだけ大きくしても正の値をとる。
大きくするほどと0に近づくけれど。

この計算、男の子を産んだら子作りやめるという前提があるから成り立つ。
男の子を産んだ後女の子を産み、そこでやめるとかいうことをするなら、条件を「どの夫婦も男の子を少なくとも1人産む」というものにかえるなら、性比は1：1になる、かな？直感的に。

[追記]
後輩が、男の子の期待値の無限級数も女の子の期待値の無限級数の期待値も1になると持ってきた。
それはそう、だろうな。
期待値の差も0に収束するっぽいもん。

ここで問題になるのは、無限級数を計算したあと差をとるという後輩の方法と、差をとってから無限級数を計算する私の方法(実際計算してないけど)、どちらが正しいのか。